En un triángulo no rectángulo la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita, es decir:
\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {b}{\sin B}= \dfrac {c}{\sin C}=2rConsidérese un triángulo no rectángulo ABC de lados a, b, c. Sea D al pie de la perpendicular h_c a c por C y denotemos por E al pie de la perpendicular h_b a b por B. Tenemos ahora los triángulos rectángulos AEB, ECB,
ACD y CBD.
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| Figura 1. Triángulo ABC |
Así pues, b \cdot \sin A = a \cdot \sin B, de donde \dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {a}{\sin A}
Nos queda demostrar esto para c y C. De forma idéntica al apartado anterior, pero tomando h_b, se deduce que \sin C = \dfrac {h_b}{a}\Leftrightarrow a \cdot \sin C = h_b.
Por otra parte, \sin a = \dfrac {h_b}{c}\Leftrightarrow c \cdot \sin A = h_b.
Por tanto a \cdot \sin C = c \cdot \sin A, de donde \dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {c}{\sin C} pero
\dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {a}{\sin A}, luego podemos concluir que \dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {b}{\sin B}= \dfrac {c}{\sin C}
Ahora procedemos a demostrar que la razón entre un lado y el ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
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| Figura 2. Circunferencia circunscrita |
Por construcción, el triángulo AFB es recto en B ya que está inscrito en la circunferencia y abarca un diámetro de la misma. Además, el ángulo F es igual al ángulo C. Aplicando trigonometría, \sin F = \sin C= \dfrac{c}{2r}, de donde \dfrac{c}{sin C}=2r, luego entonces podemos concluir que
\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {b}{\sin B}= \dfrac {c}{\sin C}=2r \blacksquare
