Demostración del Teorema del seno

El conocido Teorema del seno se podría enunciar de la siguiente manera:

En un triángulo no rectángulo la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita, es decir:

 $\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {b}{\sin B}= \dfrac {c}{\sin C}=2r$

Considérese un triángulo no rectángulo $ABC$ de lados $a$, $b$, $c$. Sea  $D$ al pie de la perpendicular $h_c$ a $c$ por $C$ y denotemos por $E$ al pie de la perpendicular $h_b$ a $b$ por $B$. Tenemos ahora los triángulos rectángulos $AEB$, $ECB$,
$ACD$ y $CBD$.

Figura 1. Triángulo $ABC$

Aplicando trigonometría tenemos: $\sin A = \dfrac {h_c}{b}\Leftrightarrow b \cdot \sin A = h_c$. Análogamente,  $\sin B=\dfrac {h_c}{a}\Leftrightarrow a \cdot \sin B = h_c$.
Así pues, $b \cdot \sin A = a \cdot \sin B$, de donde $\dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {a}{\sin A}$

Nos queda demostrar esto para $c$ y $C$. De forma idéntica al apartado anterior, pero tomando $h_b$, se deduce que $\sin C = \dfrac {h_b}{a}\Leftrightarrow a \cdot \sin C = h_b$.

Por otra parte, $\sin a = \dfrac {h_b}{c}\Leftrightarrow c \cdot \sin A = h_b$.

Por tanto $a \cdot \sin C = c \cdot \sin A$, de donde $\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {c}{\sin C}$ pero

$\dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {a}{\sin A}$, luego podemos concluir que $\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {b}{\sin B}= \dfrac {c}{\sin C}$

Ahora procedemos a demostrar que la razón entre un lado y el ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

Figura 2. Circunferencia circunscrita

Por construcción, el triángulo $AFB$ es recto en $B$ ya que está inscrito en la circunferencia y abarca un diámetro de la misma. Además, el ángulo $F$ es igual al ángulo $C$. Aplicando trigonometría, $\sin F = \sin C= \dfrac{c}{2r}$, de donde $\dfrac{c}{sin C}=2r$, luego entonces podemos concluir que

$\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {b}{\sin B}= \dfrac {c}{\sin C}=2r$ $\blacksquare$

Olimpiada Matemática Española (Fase Local) 2015

A continuación Presentamos un problema de la Olimpiada Matemática Española 2015. Pertenece a la sesión de tarde y puntúa 7 puntos sobre un total de 42 (para aquellos que no conozcan el funcionamiento de estas pruebas).

Problema: Los enteros positivos $x$, $y$, $z$ cumplen $$x+2y=z$$ $$x^{2}-4y^{2}+z^{2}=310$$ Halla todos los posibles valores del producto $xyz$.

Fuente: RSME