En un triángulo no rectángulo la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita, es decir:
$\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {b}{\sin B}= \dfrac {c}{\sin C}=2r$Considérese un triángulo no rectángulo $ABC$ de lados $a$, $b$, $c$. Sea $D$ al pie de la perpendicular $h_c$ a $c$ por $C$ y denotemos por $E$ al pie de la perpendicular $h_b$ a $b$ por $B$. Tenemos ahora los triángulos rectángulos $AEB$, $ECB$,
$ACD$ y $CBD$.
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| Figura 1. Triángulo $ABC$ |
Así pues, $b \cdot \sin A = a \cdot \sin B$, de donde $\dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {a}{\sin A}$
Nos queda demostrar esto para $c$ y $C$. De forma idéntica al apartado anterior, pero tomando $h_b$, se deduce que $\sin C = \dfrac {h_b}{a}\Leftrightarrow a \cdot \sin C = h_b$.
Por otra parte, $\sin a = \dfrac {h_b}{c}\Leftrightarrow c \cdot \sin A = h_b$.
Por tanto $a \cdot \sin C = c \cdot \sin A$, de donde $\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {c}{\sin C}$ pero
$\dfrac {b}{\sin B} = \dfrac {a}{\sin A}$, luego podemos concluir que $\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {b}{\sin B}= \dfrac {c}{\sin C}$
Ahora procedemos a demostrar que la razón entre un lado y el ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
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| Figura 2. Circunferencia circunscrita |
Por construcción, el triángulo $AFB$ es recto en $B$ ya que está inscrito en la circunferencia y abarca un diámetro de la misma. Además, el ángulo $F$ es igual al ángulo $C$. Aplicando trigonometría, $\sin F = \sin C= \dfrac{c}{2r}$, de donde $\dfrac{c}{sin C}=2r$, luego entonces podemos concluir que
$\dfrac {a}{\sin A} = \dfrac {b}{\sin B}= \dfrac {c}{\sin C}=2r$ $\blacksquare$
