1.- Calcular el valor de la siguiente expresión:
2.- Jaime irá mañana, después de levantarse, desde su casa en el pueblo hasta el museo de Historia en la ciudad. Él calcula que si conduce a 90 km/h llegará a las 9:00 a.m. y si conduce a 60 km/h llegará a las 10:00 a.m. . Teniendo en cuenta que desde que se levanta hasta que arranca el coche pasan 30 minutos, responder a las siguientes cuestiones:a) ¿A qué hora se levantó Jaime?
b) ¿Qué distancia hay del pueblo al museo?
Fuentes: Olimpiada Matemáticas Castilla y León y Olimpiada Matemática Asturiana.
Para el primer problema: las sumas parciales van dando 1, -3, 6, -10, 15, -21 etc que es otra sucesión conocida, pero alternada:
ResponderEliminarLa sucesión de las sumas parciales de enteros, es decir:
1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
etc.
Como esa sucesión es se puede representar por la fórmula:
a(n)=[n*(n+1)]/2
Entonces la suma propuesta será:
S(n)=(-1)^(n+1)*[n*(n+1)]/2
Por lo tanto, la suma hasta 2010 es:
(-1)^(2010+1)*[2010*(2010+1)]/2= -2021055
A mi se me ocurre descomponer cada diferencia de cuadrados como la suma por la diferencia:
ResponderEliminar(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+....+(2009-2010)(2009+2010)=
=(-1)·(1+2)+(-1)·(3+4)+...(-1)·(2009+2010) = (-1)·(1+2+3+4+...+2009+2010)=
=(-1)·(1+2010)*2010/2=-2011·1005=-2021055.
Un abrazo.