Un poco de cinemática...

1.- Se deja caer una piedra (sin ningún tipo de impulso, simplemente soltándola) por un acantilado completamente vertical, y a los 5s se oye el choque de ésta con el agua. ¿Cuál es la altura del precipicio?

2.- Calcular la distancia de seguridad necesaria para un conductor que tarda en reaccionar 5s y que viaja a 180 km/h si frena a 3 m/s^2.

INICIO BLOGUERO 2013-2014

Tras meses de inactividad, hoy, por fin, retomo mi actividad bloguera con dos problemas para ir refrescando nuestros cerebros tras el "parón" veraniego.

1.-  Calcular el valor de la siguiente expresión:

2.- Jaime irá mañana, después de levantarse, desde su casa en el pueblo hasta el museo de Historia en la ciudad. Él calcula que si conduce a 90 km/h llegará a las 9:00 a.m. y si conduce a 60 km/h llegará a las 10:00 a.m. . Teniendo en cuenta que desde que se levanta hasta que arranca el coche pasan 30 minutos, responder a las siguientes cuestiones:

a) ¿A qué hora se levantó Jaime?
b) ¿Qué distancia hay del pueblo al museo?

Fuentes: Olimpiada Matemáticas Castilla y León y Olimpiada Matemática Asturiana.

Para los problemas difíciles, enunciados cortos

1.- ¿Cuál es el mayor número de siete dígitos, todos ellos distintos, que es divisible además por todas las cifras que lo componen?

2.-Hallar el área del cuadrilátero DCEF.

FINAL OLIMPIADA MATEMÁTICA ASTURIANA

1.- EL TRUELO.

Tres pistoleros B, F y M expertos tiradores se retan en un duelo a tres. Se dan las siguientes premisas:

a) Son infalibles en sus disparos
b) Solo hacen un disparo cada uno y simultáneamente
c) La elección del blanco del disparo es completamente al azar

Con estas condiciones, ¿Qué probabilidad tiene de salvarse B? ¿Qué probabilidad hay de que perezcan los tres? ¿Y de que se salven dos de ellos?

2.-PORCIÓN SOMBREADA



En el rectángulo ABCD sabemos que 5BC = 6DC y DC=ED además F es el punto medio de EC. ¿Qué fracción representa el área sombreada en azul sobre el cuadrilátero ABCD?


3.- MUCHOS NUEVES

Carmen escribió N= 999999...............999 (cien nueves), luego obtuvo N^2 y finalmente sumó los dígitos de esta última cantidad. Obtener dicha suma.

4.- POSTES KILOMÉTRICOS

Viajamos por carretera en dirección a Bilbao, con velocidad constante y observamos lo siguiente: hemos cruzado un poste kilométrico con un número de dos cifras y una hora más tarde pasamos otra señal con las mismas dos cifras pero en orden inverso. Y no sólo eso, sino que una hora más tarde pasamos otra señal con las mismas dos cifras (las de la primera señal) pero con un cero entre ambas. ¿Cuáles son esas cifras y a qué velocidad viajamos?

NOTA: LOS PROBLEMAS NO SON DE MI AUTORÍA. PERTENECEN A LA OLIMPIADA MATEMÁTICA ASTURIANA

OLIMPIADA MATEMÁTICA ASTURIANA 2013

Los problemas que se muestran a continuación son los que se propusieron en la semifinal individual para 3º y 4º de ESO en la olimpiada asturiana de matemáticas a 16 de Abril de 2013:

1.- PASA EL TREN

Juan y Diego están parados en la mitad del andén de una estación de tren. Llega el Alvia, que no para, y en cuanto pasa la cabeza del tren a su altura se ponen a andar por el andén a la misma velocidad. Juan en la misma dirección y sentido que el tren y diego en dirección opuesta, parándose ambos cuando pasa la cola del tren. Si juan recorrió 45 metros y Diego recorrió 30m, ¿Cuál es la longitud del tren?

2.- SOMBREADO

En la figura que se muestra hay dos cuadrados, el mayor de lado 7cm y el menor de lado 2cm. Hallar el área sombreada en verde:

3.- PALABRAS

Llamaremos palabra a cualquier secuencia de letras A y M. Considere la siguiente sucesión de palabras: M; A; AM; AMA; AMAAM;::::

La primera palabra de la sucesión es M y cada palabra se forma a partir de la anterior por medio de las siguientes reglas:

• Cada letra M se reemplaza por la letra A.
• Cada letra A se reemplaza por la palabra AM.

Cierta palabra de la sucesión tiene entre 60 y 100 letras M. Determine cuántas letras A tiene esa palabra.

4.- UNA GRAN BATALLA

Tras una extraordinaria batalla, al menos el 70% de los combatientes perdió un ojo; el 75% una oreja, al menos el 80% perdió una mano y el 85% una pierna. ¿Qué porcentaje de ellos por lo menos perdieron los cuatro órganos?

El problema de los dos ejércitos y colorear un mapa

1.-Este problema quizá no tiene tanta relación con la matemática y está más vinculado a las ciencias de la telecomunicación, no obstante es un problema para pensar.
Imagínese dos ejércitos que se encuentran en un valle de tal forma: el ejército A se divide en dos, es decir, uno está en una montaña(1A) y el otro en otra montaña (2A), quedando entre ambos un ejército B. Existe el siguiente problema: 1A y 2A sólamente pueden comunicarse entre sí mediante un mensajero, del que no se tiene la certeza de que pudiese comunicarse con la otra parte, es decir, si 1A desease comunicarse con 2A, no podría tener la certeza de que el mensaje les llegase ya que el ejército B podría matarlo. Lo que ocurre es que el ejército 1A desearía atacar al amanecer y se precisa de un protocolo que permita que esta información le llegue a 2A. ¿Existe dicho protocolo?

NOTA: 1A no podría atacar sólo contra B pues perdería la batalla.

2.-¿Cuántos colores serían necesarios para colorear el mapa de Andalucía de la fotografía para que cada provincia tenga a su lado provincias de distinto color es decir, que ninguna provincia tenga otra a su lado del mismo color?

Los puentes de Königsberg y un problema aritmético

Los puentes de Königsberg es un clásico problema resuelto por el matemático Leonard Euler, originando así la teoría de grafos. El enunciado es el siguiente: ¿Se puede hacer un recorrido que pase por los siete puentes sin cruzar uno dos veces? ¿Por qué?

NOTA: se puede comenzar en cualquier sitio del mapa

1.- Se trataría de un número de cuatro cifras tal que éste es igual a la suma de cada una de sus cifras elevadas a sí mismas, es decir, abcd = a^a + b^b + c^c + d^d. Responder a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede haber algún 6?
b) ¿Puede haber algún 5?
c) Hallar el número

NÚMEROS SUPERSTICIOSOS

Este problema, sacado de la olimpiada matemática asturiana del 2012, lo resolvimos el otro día en clase y me pareció interesante, por lo cual he decidido publicarlo aquí. Dice así:

"Un número se considera supersticioso cuando es igual a trece veces la suma de sus cifras. Escribe todos los números supersticiosos que existen"

Además yo añado otras dos preguntas. ¿Puede ser un número de dos cifras y por qué? ¿Y de cuatro?

Un problema que me encontré en el examen de hoy

Quedaban dos minutos de clase. Mi desesperación aumentaba. No me podía concentrar. No resolvía los dos últimos apartados y ya casi no quedaba tiempo. Al final, como por arte de magia, me llegó la inspiración. He aquí el problema:

Teniendo en cuenta que DE y CF son paralelos y sabiendo que la distancia de D a E es de 5m, la de C a F es de ocho metros y que el área del triángulo DJE es de 15 metros cuadrados:

a)Calcular el área del triángulo CJF

b)Calcular la medida del segmento GH

c)Calcular el área del cuadrilátero GCFH

Nota: La autoría del problema no es de mi propiedad. Pertenece a mi profesora de matemáticas, Maribel.

Más Tales: Geometría plana

Sabiendo que CA(17cm) y DB(11cm) son paralelos y perpendiculares a AB(15cm), calcular la distancia que hay desde el punto E hasta el punto F.

Geometría: Tales y Pitágoras

1.-Calcular la longitud del segmento ED.

2.- Calcular el área del triángulo EFB:

Ecuaciones y lógica

1.-Un señor recorre um trayecto de 15 kilómetros en dos tramos. El primer tramo lo recorre a una determinada velocidad (km/h) y el segundo lo recorre en x+10 km/h. Calcula la velocidad de cada trayecto sabiendo que el primero dura un cuarto de hora y el segundo dura 20 minutos.

2.- Dos tubos A y B llenan una piscina en dos horas. A, él solo, lo hace en tres horas menos que B. Por separado, ¿Cuánto tarda cada uno?

3.-Disponemos de nueve monedas aparentemente iguales, ya que sólo se diferencian en el peso. ¿Cómo averiguar en tres pesadas cuál pesa menos?

Una Suma y dos problemas de ecuaciones

1.- Si x, y, z son números positivos tales que xy=24, zx=48, yz=72. ¿Cuánto valdrá la suma x+y+z?

2.-Un avión hace un viaje de 4000 km a favor del viento en cuatro horas, pero cuando da la vuelta tarda 5 horas, pues viaja en contra del viento. Si la velocidad del viento fue constante en todo el viaje, ¿Cuál era la velocidad del viento?¿Cuál era la velocidad del avión sin influencia del aire?

3.-Un viandante hace un trayecto de 25 km en 3 y 3/4h. Él divide el trayecto en dos partes: Parte 1 y parte dos. En la parte uno camina a cuatro kilómetros por hora y en la parte dos corre a 12 km por hora.

• ¿Qué distancia recorre en la segunda parte del trayecto?
• ¿Cuánto tiempo dura la segunda parte del trayecto?

Hallar el área sombreada

Sabiendo que el área del cuadrado ABCD es de 36 centímetros cuadrados, hallar el área de la zona azul, teniendo en cuenta que E es el punto medio del lado AB.

PENSAMIENTO LATERAL

Podrán pensar muchas soluciones, pero sólo una es la correcta:

1.- Un señor estaba viendo la televisión tranquilamente sentado en el sofá de su casa cuando de repente escucha algo en la tele que le hace suicidarse. ¿Qué llevo al hombre a cometer suicidio?

2.- Una señora que estaba acostumbrada a ir a trabajar sin tacones, un buen día decide ponérselos. Sin embargo no se los pondría nunca más ya que ese mismo día, mientras trabajaba muere. ¿Cuál era el trabajo de la mujer?

3.- Una joven estaba escuchando la radio cuando de repente, ésta se quedó sin sonido. Si no hubo ningún corte en la emisión, ni nada funcionó mal, ni la corriente eléctrica se cortó, ¿Qué fue lo que ocurrió? [PD: He cambiado la solución que se podría encontrar en google para hacerlo más complicado]

Acertijos para pensar

1.- Cuando un señor es encarcelado 3 días antes de su ejecución y el guardia le dice: "Te será imposible salir de aquí ya que la única salida es una ventana sin barrotes situada a más de 4 metros de altura. La tierra es blanda, pero si quieres cavar un túnel te llevaría más de una semana. Y ahora te voy a encerrar con múltiples candados para que te sea imposible escapar". No obstante, el caco consigue escapar antes de esos tres días y se libra de su ahorcamiento. ¿Cómo logró escapar si no dispone de ninguna herramienta que le pueda servir?

2.-Dos amigos se aventuran en el desierto. Uno lleva una carga de piedras y otro lleva un martillo. Es entonces cuando el primero le dice a su compañero: "Tengo mucha sed. ¿No habrá por estos lares alguna fontana?". El compañero le replica: "No, no hay ninguna fontana, pero creo que ese barril de ahí contiene agua". Ambos se encaminan hacia el barril y descubren que, efectivamente, contiene agua. De nuevo el primero habla y dice: "Creo que debería de beber yo primero ya que he transportado la carga más pesada", a lo que el segundo replica: "Ya, pero si bebes tu primero posiblemente de la sed que tienes acabes el barril. Beberé yo primero". "Vale, estoy de acuerdo, pero si bebes más de la mitad te mato con una de mis piedras"-dijo el primero. "No te preocupes, no beberé más de la mitad"- contestó el segundo. Tras beber, el primero comprueba que bebió justo la mitad y no lo mata. ¿Cómo hizo para saber si había bebido la mitad?

3.-¿Cómo formar los números del 1 al 10 con cuatro cuatros y los signos y operadores aritméticos necesarios?

Encontrar el error en las siguientes "igualdades", un problema de vino y una curiosidad.

Encontrar el error:

PROBLEMA: Tengo un bidón con 16L de vino. Quiero llenar uno de 12L, pero sólo puedo utilizar jarras de 5L y 3L, pero claro, tengo como condición también que no que vino en ninguna de las jarras. E.g: Si yo tomo de 9 en 9 litros y voy vertiendo en el bidón de doce, me sobrarán 6L en la jarra la segunda vez que vierta vino en el bidó. Esto NO valdría. La jarra debe de quedar vacía y el bidón lleno.

(No puedes verter directamente del bidón de 16 al de 12, sin jarras obviamente).

Y una curiosidad matemática:

Secuencia de números

Se trata de encontrar dos números del conjunto A de los números naturales del 1 al 17, A={1,2,3...17}, tal que el producto de ambos sea igual a la suma de los 15 restantes. Lo más importante no es la solución, sino el procedimiento para llegar a ésta. 

Geometría en Plutón

Los habitantes de Plutón son muy peculiares. No conocen la fórmula del teorema de Pitágoras, ni de Tales, ni mucho menos conocen la trigonometría, y sin embargo, han sabido calcular la altura del triángulo de la imagen. Intenta calcular tú también la altura del siguiente triángulo por supuesto sin Pitágoras, sin Tales, y sin trigonometría.

Problemas míticos de matemáticas

1.- Un padre dejó en herencia a sus tres hijos 11 vacas, pero de tal manera que:

• Al hijo mayor le correspondían la mitad.

• Al hijo mediano le pertenecían la cuarta parte.

• Y al hijo menor una sexta parte.

Cuando llega el momento de repartir ven que habría que sacrificar a un animal, ya que el reparto no resultaría correcto (sobraría uno). En ese momento, un señor que pasaba por allí, Ernesto, dice "No os preocupéis. Pongo yo una de mis vacas y así ya resulta correcta la división de propiedades".

Realizan el reparto y a cada uno le toca su parte pero les sobra una vaca, la de Ernesto, que se la lleva él.¿Cómo es posible?

2.- CÁLCULO MENTAL: En una calle hay 100 edificios. Se llama a un fabricante de números para que ponga números a todas las casas del uno al cien; éste tendrá que encargar los números para hacer el trabajo. ¿Cuántos nueves necesitará? (se entiende que los números se venden de uno en uno, es decir, que el numero 10, lo compondría comprando un 1 y un 0)

3.- ¿Cómo medir 4 litros con jarras de 3L y 5L respectivamente?

Triángulo inscrito en circunferencia

Dado un triángulo equilátero, de lado 1cm, obtener el radio de la circunferencia circunscrita. Una vez más, en este problema no se puede hacer uso de trigonometría. 

Círculo inscrito en triángulo equilátero

En un triángulo equilátero de lado 1cm se inscribe un círculo de radio r. Obtener el radio SIN TRIGONOMETRÍA. Para hacerlo menos fácil, hay que tener en cuenta que ya sabemos que el radio es una tercera parte de la altura. Busco otro razonamiento.

Problemas de ecuaciones para estudiantes de la ESO 2

He aquí la segunda parte de problemas de ecuaciones para la ESO. Son los siguientes:

1.-  Cuando Alexander nació, su madre tenía 24 años. En el presente, la edad de Alexander es un 20% de la edad de la madre. ¿Cuántos años tiene Alexander ahora?

2.- Hace cinco años, Jeremías tenía una sexta parte de la edad de su hermano. En tres años, el doble de su edad igualará la de su hermano. ¿Cuántos años tiene Jeremías ahora?

3.- Casilda tiene ahora un cuarto de la edad de su padre. En cinco años su edad será un tercio de la de su padre. ¿Cuantos años tiene ahora Casilda?

Problemas de ecuaciones para estudiantes de la ESO 1

Estos problemas monetarios van dedicados a aquellos estudiantes que tienen problemas con plantear un problema mediante ecuaciones de primer grado. Otro día pondré problemas de edades, que también sirven para practicar.

1.- Roberto tiene sellos de 5 y 10 céntimos respectivamente, sumando todos ellos un total de 5,75€. Si tiene 5 sellos más de 10 céntimos que de 5 céntimos, ¿cuántos sellos tiene de cada tipo?

2.- Camilo tiene una colección de monedas. Tiene 3 veces más monedas de 10 céntimos que de 15 céntimos, y posee también algunas de 5 céntimos. Si tiene 88 monedas con un valor de 11,40€ en total, ¿Cuántas tiene de cada clase?

3.- Patricio tuesta café. Mezcla una marca A que le sale a 6€ el kg con una marca B que le cuesta 8€ el kg. ¿Cuántos kilos de cada marca debe de mezclar para tener 50 kg de café a 7,20€ el kg?

Cuadrado inscrito en triángulo equilátero

El padre de un buen amigo mío,  me planteó un día este problema:
Se ha inscrito un cuadrado en un triángulo equilátero (ya sé que el de la figura no lo parece, pero imagínense que lo es) de lado 1cm. Sin hacer uso de trigonometría, se trataría de obtener el área de dicho cuadrado. Adjunto un dibujo esquemático para que la labor resulte más sencilla.

Aritmética en Plutón

Los habitantes de Plutón, además de utilizar nuestros operadores de suma, resta, multiplicación, etc, utilizan también uno muy curioso: "@". Se trataría de obtener el valor de la expresión 12@5 teniendo en cuenta las siguientes igualdades:

Igualdades

En este "desafío", y lo entrecomillo pues es muy fácil, se trata de utilizar cualquier signo matemático, cualquier operador para completar las siguientes igualdades. Lo que no se puede hacer es elevar un número a otro, es decir, las potencias no están permitidas. Sí lo están los radicales, sumas, restas, divisiones...

1          1          1 =  6

2          2          2 =  6

3          3          3 =  6

4          4          4 =  6

5          5          5 =  6

6          6          6 =  6

7          7          7 =  6

8          8          8 =  6

9          9          9 =  6 

Problemas de Lógica

1.- Un oso camina 10 Km hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, regresando al punto de partida. ¿De qué color es el oso?

2.-Un encuestador llama a una casa donde es atendido por una mujer:

- ¿Cuántos hijos tiene?

- Tres hijas, -dice la señora-.

- ¿De qué edades?

- El producto de las edades es 36 y la suma es igual al número de esta casa.

El encuestador se va, pero al rato vuelve y le dice a la señora que necesita más información para deducir las edades de sus hijas. La señora piensa un momento y le dice:

- Tiene razón, la mayor toca el piano.

¿Qué edades tienen las hijas?

3.-¿Qué significa el siguiente mensaje cifrado? (Fuente: La Habitación de Fermat)

000000000000000011111110000 111111111110010001110001001 001111100100111101011110011 100100111000111111111000001 000001000000100000100000011 111110000000111110000000000 0000000

4.-Dos padres y dos hijos fueron a pescar, tres peces pescaron y a cada uno le tocó un pez.

¿Cómo pudo ser?

5.-Se tienen tres cajas, individuales y separadas de igual tamaño. Dentro de cada caja hay otras dos más pequeñas y en cada una de éstas otras cuatro aún menores. ¿Cuantas cajas hay en total?

Posiblemente, en breve, a petición de un familiar, empiece a colgar las soluciones a todos los enigmas que os planteo, aunque me gustaría que fueseis vosotros los que en los comentarios, las pusieseis. Gracias.

El trapezoide

En un trapezoide como el de la figura conocemos las medidas de dos de sus lados son 7 y 11 respectivamente. Además sabemos que dos de sus ángulos son rectos. Se trataría de hallar las medidas de los lados x e y sabiendo que éstos son mayores que los otros dos y que además sus medidas son enteros exactos.